Задачі

Задачі Зінаїди Слєпкань

1)  Скількома способами можна розмістити 12 осіб за столом, біля якого поставлено 12 стільців?

Розв’язання. Це перестановки: P(12)=479001600. Цікаво, що коли розміщати 12 осіб за столом щохвилини протягом 11 годин на добу, 365 днів на рік, з відпочинком на один день у високосному році, то на це піде 1988 років і 140 днів!

2)    Замок «з секретом» містить чотири шестигранні призми, що повертаються незалежно одна від одної навколо спільної осі. На кожній бічній грані призми вибито одну цифру від 1 до 6; повертаючи призми, дістають у прорізі замка певне чотирицифрове число; замок відкривається лише тоді, коли буде набрано «секретне» число. Яка ймовірність того, що замок відкривається за одного довільного набору чотирицифрового числа?

(Відповідь. Розміщень з повтореннями 6, то ймовірність 0,0008.)

Задача Яновської

«На деякій множині введено операцію, яка кожним двом елементам a і b з цієї множини ставить у відповідність елемент a*b з цієї множини.

Відомо, що : 1) для будь-яких трьох елементів a, b і с

   a*(b*c)=b*(c*a);

2)якщо a*b=a*c, то b=c;

3)якщо a*c=b*c, то a=b.

Довести, що операція * комутативна і асоціативна».

Задача Софі Жермен

Довести, що кожне число виду a^4+4 є складене (a>1).

a^4+4=a^4+4a^2+4-4a^2=(a^2+2)^2-(2a)^2=(a^2+2+2a)(a^2+2-2a)

Тут (a^2+2+2a)≠1,       (a^2+2+2a)=(a-1)^2+1≠1

Тому, a^4+4 має два різних дільники, відмінних від самого числа й одиниці. Отже, це число складене.

Теорема Нетер

Якщо властивості симетрії фізичної системи не змінюються за якогось перетворення змінних, то цьому відповідає збереження якоїсь фізичної величини.

Теорема Ковалевської (Коші) (Берлін, 1874) 

Якщо f(х,у) є ана­літичною функцією х та у в околі точки (0; 0), то існує єдиний аналітичний розв’язок y(х) рівняння dy/dx=f(х, у), який задовольняє по­чаткову умову y(0) =0.